关系运算：除

数据库的关系运算中，专门的关系运算包括选择，投影，连接和除。本文讲解一下除运算的原理。

在讲解除运算之前，先介绍一下象集的概念。

关于像集的概念：

给定一个关系R（X,Z），X和Z为属性组，当t[X] = x时，x在R中的像集（Images Set）为：

Z_X={t[Z]|t∈R，t[X] = x}

它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。

关系除运算的定义：

关系的除运算是同时从关系的水平方向和垂直方向上进行的运算。假设关系R（X,Y）和S（Y,Z），X、Y、Z为属性组。R÷S应当满足元组在X上的分量值X的像集YX包含关系S在属性组Y上投影的集合。其形式定义为：

R÷S = {t_n[X]|t_n∈R^π_Y(S)⊆Y_X}

R与S的除运算得到一个新的关系P（X），P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：

关系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X，Y，Z为属性组（R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集）；

元组在X上的分量值X 的像集YX包含S在Y上的投影。

下面以一个例子来说明：

假设关系R和S如下：

计算R÷S的过程：

a1的象集为{（b1,c2）,(b2,c3),(b2,c1)}

a2的象集为{(b3,c7),(b2,c3)}

a3的象集为{(b4,c6)}

a4的象集为{(b6,c6)}

S在（B，C）上的投影为：

{(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)}

因为只有a1的象集包含了S在（B，C）属性组上的投影，故R÷S={a1}，即：

R÷S的结果为：