问题描述 观察这个数列： 1 3 0 2 -1 1 -2 …
这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。 栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？ 输入格式 输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。 输出格式 输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。 样例输入 4 10 2 3 样例输出 2 样例说明 这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。 数据规模和约定 对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5； 对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30； 对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50； 对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50； 对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。
分析： 深度搜索算法： 先简单来看一下深搜的算法吧。这题的深搜就像一棵二叉树，从每个节点向下都会有两个分支，一个是加a，一个是减b。需要考虑的是根节点的大小，也就是第一个数的大小。第一个数没有明确告诉那么必然是在一个区间内浮动无法确定，需要一个个测试是否符合要求然后确定。注意到输入的数据有4个，第一个数的大小的区间可以用这四个数表示出来，可以确定最大值和最小值。最大值为s+n*b，最小值为s-n*a。对这个区间内的每个整数做一遍深搜，统计满足条件的值可得答案。
代码：
public class Main{
static int num;//统计方案数static int n;//数列长度static int s;//和static int a;//加astatic int b;//减bpublic static void main(String[] args) { Scanner scanner=new Scanner(System.in); n=scanner.nextInt(); s=scanner.nextInt(); a=scanner.nextInt(); b=scanner.nextInt(); int total=s+n*b;//第一个数可能取得的最大值 for (int i = s-n*a; i <=total ; i++) { dfn(i,i,1);//对每个符合要求的数列的首项做一次深搜 } System.out.PRintln(num);}//cur是数列当前项的值，all是数列累计值的总和，len是数列的长度private static void dfn(int cur,int all,int len) { if(len==n) { if(all==s) { num++; num=num%100000007; return ; } else return;//缺少此项堆栈溢出 } dfn(cur+a,all+cur+a,len+1); //下一项加a的情况 dfn(cur-b,all+cur-b,len+1); //下一项减b的情况} }可惜出现运行超时的情况
动态规划算法： 简单介绍深搜后重点来了，这题用动态规划（dp）解才是正解。在讲这题之前首先要回顾一下01背包问题中统计方案数的问题。
有容量为c的背包要装入体积为1~n的物品，每种物品各一个，求恰好将背包装满的方案数。
我们用二维数组Bo[i][j]来存储背包容量递增，物品按体积1~n的顺序递增时方案数的情况。i表示有体积为0~i的物品各一个，j表示背包的容量为j。首先要初始化当已有的物品体积数量为0，也就是相当于只有一个体积为0的物品时，背包容量j为0的方案数为1个，而容量大于0的方案数全为0。之后来看关键的状态转移方程： Bo[i][j]=Bo[i-1][j] ； i>j Bo[i][j]=Bo[i-1][j]+Bo[i-1][j-i] ； i<=j 二维数组是从上到下，从左到右进行计算的，每个元素都与之前已经计算过元素相关。第i行j列的元素，如果i>j，也就是新添加的可选物品的体积大于背包的容积，无法放入背包，所以新添加的可选物品不能够增加方案数。如果i<=j，新添加的可选物品的体积小于背包的容积，有可能与其他物品组合装入背包，这时方案数为当没有添加入i体积物品时背包容量为j的方案数Bo[i-1][j]（装入后背包内体积还是小于背包体积），加上当没有添加入i体积物品时但背包容量恰好可以装入i体积物品的方案数Bo[i][j]=Bo[i-1][j]+Bo[i-1][j-i]（装入后背包内体积等于背包体积）。这样逐行计算即可知道所有情况下的方案数。 但是背包问题和本题有何关系呢，似乎毫不相干？
这题的难点就在于如何将本题转化为01背包问题。 设数列首项为t，F(i)={a,-b},第i项加上F(i)为第i+1项。所以第2项可表示为t+F(1)，第2项可表示为t+F(1)+F(2)，第3项可表示为t+F(1)+F(2)+F(3)………..把第一项到第n项累加起来可得表达式n*t + (n-1)F(1) + (n-2)F(2) + ……. +F(n-1) =s。n*t = s - {(n-1)F(1) + (n-2)F(2) + ……. +F(n-1)}。由于F(i)不为a就为-b，设有c个a，F(i)的系数相加共有1+2+……+n-1 = (n-1)*n/2项目，所以共有c-(n-1)*n/2个b。所以令temp = s - c*a + ((n-1)*n/2 - c)*b，当temp%n = = 0时，说明temp == n*t，满足要求。并且，c为1~n-1个数中的若干个数组合相加而得的，每一种组合都是一种方案，到此，我们就可以发现这题已经转化为求01背包问题的方案数了。即从体积为1~n-1的物品中有几种方案能够恰好填满背包。
i j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 3 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 上图为测试输入样例的动态规划的结果，每一项都是(i,j)条件下的方案数，c的可能取值为4的倍数，该输入中有0和4符合要求，所以将(3,0)和(3.4)的值相加即为答案2。
还要注意到时间和空间的节省。时间上因为1~i-1体积的物品加起来最多也只能刚好填满i*(i+1)/2容量的背包，所以大于背包容量大于i*(i+1)/2体积的不用计算，固定初始化为0。空间上也不需要开辟上图那么大的空间，用滚动数组只需开辟两行即可，因为(i,j)的值只与i-1行有关,最终结果也只和最后求得的一行有关，所以只需存储当前行与上一行。
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