深入理解卡特兰数及其应用

2020-01-26 16:04:43

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Catalan number，卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁・查理・卡塔兰 (18141894)命名。

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

catalan数公式的一般是形式为：

$C_n = /frac{1}{n+1}{2n /choose n} = /frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$

递推关系：

$C_0 = 1 /quad /mbox{and} /quad C_{n+1}=/sum_{i=0}^{n}C_i/,C_{n-i}/quad/mbox{for }n/ge 0.$

它也满足

$C_0 = 1 /quad /mbox{and} /quad C_{n+1}=/frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,$
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡特兰数的应用n个元素顺序入栈，出栈顺序有多少种？此问题是一个卡特兰数问题，证明过程如下：

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有 ${2n /choose n}$ 个，下面考虑不满足要求的数目。

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。

反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。

从而 $C_n = {2n /choose n} - {2n /choose n + 1} = /frac{1}{n+1}{2n /choose n}$ 。证毕。

括号化问题如，矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

出栈次序问题　　
1、一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
2、有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)。

将多边行划分为三角形问题　　
1、将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
2、一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
3、在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

给顶节点组成二叉树的问题　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

一些笔试题
1、16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。
h(8)=16!/(8!*9!)=1430，所以总数=h(8)*8！*8！=16!/9
2、在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？
h(3)=6!/(3!*4!)=5，所以总数=h(3)*3!*3!=180

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