问题描述

给定n个整数A1，A2,…,An，按从左到右的顺序选出尽量多的整数，组成一个上升子序列。比如从序列1，6，2，3，7，5中，可以选出上升子序列1，2，3，5，也可以选出1，6，7，但前者更长。选出的上升子序列中相邻元素不能相等。

问题分析

设d(i)为以编号i结尾的上升子序列的长度。那么对于上述序列1，6，2，3，7，5来说： d(1)=1 d(2)=2 d(3)=2(因为2<6,所以子序列为1,2) d(4)=3(子序列为1,2,3) d(5)=4(子序列为1,2,3,7) d(6)=4(子序列为1,2,3,5) 从上述对d(i)值的枚举可以看出,d(i)=max{0,d(j)|j＜i,Aj＜Ai}+1=max{d(i)}(A为序列),很显然可以看出，当前算法的时间复杂度为O(n^2),那么能不能对这个算法进行优化呢，显然是可以的.

算法优化

假设已经计算得到a，使得d(a)=t,且Aa为d值为t的序列中的最小值，那么在后续的序列中，显然只要找到一个数字编号k，使得Ak＞Aa,那么就能满足上升子序列的条件，且这样不会丢失最优解。证明如下： 设d(a)=d(b)=t,且Aa为d值为t的序列中的最小值，那么由假设可知Aa≤Ab,那么在后续序列中，找到一个数字编号k，因为Ak>Aa,但是因为Ak不一定大于Ab，所以如果舍弃Aa，显然可能会舍弃最优解，但如果舍弃Ab，确不一定会丢失最优解。综上，min{j|d(j)=i)为当前选择的最优解. 现在有了上述的结论，那么我可以设g(i)为d值为i的最小状态编号，那么一定有g(1)≤g(2)≤….≤g(n),所以现在只需要根据二分查找，找到一个数字编号k，使得g(k)≥Ai，更新d(i)=k,此时Ai＜g(k),而d(i)=k,所以更新g(k)=Ai.代码如下:

这里写代码片 for(int i=1;i<=n;i++) g[i]=INF; for(int i=0;i＜n;i++){ int k=lower_bound(g+1,g+n+1,A[i]); d[i]=k; g[k]=A[i]; }