描述
将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。 正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。
输入
标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一行输入数据,包括两个整数N 和 K。 (0 < N <= 50, 0 < K <= N)
输出
对于每组测试数据，输出以下三行数据: 第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目 第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目 第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目
样例输入
5 2
样例输出
2 3 3
提示 第一行: 4+1, 3+2, 第二行: 5，4+1，3+2 第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1
分析
整数划分问题这几个变形确实很经典，需要一个个说明下： 设dp[n][m]表示数n划分方案中，每个数 不大于m 的划分数。
N划分成若干个可相同正整数之和
划分分两种情况：
划分中每个数都小于m：则划分数为dp[n][m-1]。划分中至少有一个数等于m：则从n中减去去m，然后从n-m中再划分，则划分数为dp[n-m][m]。动态转移方程：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]。
N划分成若干个不同正整数之和
划分分两种情况：
划分中每个数都小于m：则划分数为dp[n][m-1]。划分中至少有一个数等于m：则从n中减去m，然后从n-m中再划分，且再划分的数中每个数要小于m, 则划分数为dp[n-m][m-1]。动态转移方程：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]。
N划分成K个正整数之和
设dp[n][k]表示数n划分成k个正整数之和时的划分数。 划分分两种情况：
划分中不包含1：则要求每个数都大于1，可以先拿出k个1分到每一份，之后在n-k中再划分k份，即dp[n-k][k]。划分中包含1：则从n中减去1，然后从n-1中再划分k-1份, 则划分数为dp[n-1][k-1]。动态转移方程：dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1]。
N划分成若干个奇正整数之和
设f[i][j]表示将数i分成j个正奇数，g[i][j]表示将数i分成j个正偶数。 首先如果先给j个划分每个分个1，因为奇数加1即为偶数，所以可得： f[i-j][j] = g[i][j]。 划分分两种情况：
划分中不包含1：则要求每个数都大于1，可以先拿出k个1分到每一份，刚可将问题转换为”从i-j中划分j个偶数”，即g[i-j][j]。划分中包含1：则从n中减去1，然后从n-1中再划分k-1份, 则划分数为dp[n-1][k-1]。动态转移方程：f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。
实现
#include <iostream>#include <cstring>using namespace std;#define N 51int dp1[N][N]; //N划分成K个正整数之和的划分数目。int dp2[N][N]; //N划分成若干个不同正整数之和的划分数目。int dp3[N][N]; //N划分成若干个可相同的正整数之和的划分数目。int f[N][N]; //N划分成K个奇正整数之和的划分数目。int g[N][N]; //N划分成K个偶正整数之和的划分数目。void initDivideInt() { memset(dp1, 0, sizeof(dp1)); //dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1] memset(dp2, 0, sizeof(dp2)); //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1] memset(dp3, 0, sizeof(dp3)); //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m] for (int i = 1; i < N; i++) { for (int j = 1; j < N; j++) { if (i < j) { dp1[i][j] = 0; dp2[i][j] = dp2[i][i]; dp3[i][j] = dp3[i][i]; } else if (i == j) { dp1[i][j] = 1; dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + 1; dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + 1; } else { dp1[i][j] = dp1[i - j][j] + dp1[i - 1][j - 1]; dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + dp2[i - j][j - 1]; dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + dp3[i - j][j]; } } }}//f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]void initDivideOdd() { f[0][0] = 1; g[0][0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) { for (int j = 1; j <= i; j++) { g[i][j] = f[i - j][j]; f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j]; } }}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin); int n, k; initDivideInt(); initDivideOdd(); while (cin >> n >> k) { cout << dp1[n][k] << endl; cout << dp2[n][n] << endl; int sum = 0; for (int i = 0; i <= n; i++) { sum += f[n][i]; } cout << sum << endl; } return 0;}
