动态规划（一）

    动态规划通常用来解决最优化问题，通过做出一组选择来达到最优解。在做出每个选择的同时，通常会生成与原问题形式相同的子问题。当多于一个选择子集都生成相同的子问题时，动态规划技术通常就会很有效，其关键技术就是对每个这样的子问题都保存其解，当其重复出现时即可避免重复求解。

基本概念

    动态规划（dynamic PRogramming）与分治方法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题。分治方法将问题划分为互不相交的子问题，递归的求解子问题，再将他们的解组合起来，求出原问题的解。与之相反，动态规划应用于子问题重叠的情况，不同的子问题具有公共的子子问题。在这种情况下，分治算法会做许多不必要的工作，它会反复地求解那些公共子问题，而动态规划算法对每个子子问题只求解一次，将其解保存在一个表格中，从而无需每次求解一个子子问题时都重新计算，避免了这种 不必要的计算工作。     动态规划常用来求解最优化问题（optimization problem），这类问题可以有很多可行解，每个解都有一个值，寻找最优值（最大值或最小值）的解，称这样的解为问题的一个最优解（an optimal solution），而不是最优解（the optimal solution），因为有可能有多个解都达到最优值。     通常用4个步骤来设计一个动态规划算法： 1. 刻画一个最优解的结构特征； 2. 递归的定义最优解的值； 3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法； 4. 利用计算出的信息构造一个最优解 。

钢条切割

问题描述

    钢条切割问题：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表pi（i=1,2，•••，n），求切割钢条方案，使得销售收益rn最大，钢条可以0切割。

最优解的结构特征

    长度为n英寸的钢条共有2^（n-1）中不同的切割方案，因为在距离钢条左端i（i=1,2,•••，10）英寸出，我们总是可以选择切割或不切割。一个最优解就是将钢条切割为k段（1<=k<=n），那么最优切割方案为 n=i1+i2+•••+ik 将钢条切割为长度分别为i1，i2，•••，ik的小段，得到最大收益 rn=pi1+pi2+•••+pik 更一般的，对于rn，可以用更短的钢条的最优切割收益来描述它 rn=max（pn，r1+r(n-1)，r2+r(n-2)，•••，r(n-1)+r1）

递归定义最优解

    根据上面得到的式子，采用递归的方法，伪代码如下：

    从上面的递归中可以看出，每个n值，都会反复的计算前面已经计算过的值，当n比较大时，递归调用的工作量会爆炸性的增长，所以应该采用动态规划的方法求解。

自底向上计算最优解的值

    动态规划有两种等价的实现方法。     第一种方法称为带备忘的自顶向下法（top-down with memorization）。此方法仍按照自然的递归形式编写过程，但过程会保存每个子问题的解（通常保存在一个数组或哈希表中），我们称这个递归过程是带备忘的（memoized）。     第二种方法称为自底向上法（bottom-up method）。这种方法一般需要恰当定义子问题“规模”的概念，使得任何自问的求解都只依赖于“更小的”子问题的求解，因而可以将子问题按规模排序，按由小至大的顺序进行求解。     两种方法得到的算法具有相同的渐进运行时间，仅有的差异是在某些特殊情况下，自顶向下方法并未真正递归地考察所有可能的子问题，由于没有频繁的递归函数调用的开销，自底向上方法的时间复杂性函数通常具有更小的系数。     这里采用第二种方法的伪代码如下：

构造最优解

    上面的伪代码已经计算出最优解的值，但缺少最优解的方案，可以稍加修改，添加数组s记录n英寸钢条最优切割方案的第一段切割长度：

    通过下面的伪代码来输出完整的最优切割方案：

矩阵链乘法

问题描述

    给定n个矩阵的链[A1，A2，•••，An]，矩阵Ai的规模为p(i-1)*pi（1<=i<=n），求完全括号化方案，使得计算乘积A1A2•••An所需标量乘法次数最少。

最优解的结构特征

    和钢条切割问题相似，A1A2•••An其实就可以写成A1•••AkA(k+1)•••An，其中A1•••Ak和A(k+1)•••An就成为了两条子链，同理，子链亦可往下分解，原来的问题就变成了求解这些子链的的问题。

递归求解方案

    令m[i, j]表示计算矩阵链所需标量乘法次数的最小值，原问题的最优解的值为m[1, n]，很容易，我们得到 m[i, j] = m[i, k] + m[k+1, j] + p(i-1)pkpj，当i=j时，m[i , j]=0.

计算最优解的值

    根据上面的递归公式，假设矩阵Ai的规模为p(i-1)*pi，它的出入序列是p=[p0，p1，•••，pn]，过程中用辅助表m保存代价m[i, j]，用辅助表s记录最优值m[i, j]对应的分割点k。伪代码如下：

构造最优解

    利用递归求解的思路递归的输出最优括号方案，伪代码如下：