欧拉计划译文及答案（21-30）

（21）相亲数

对正整数n，定义d(n)为n除n本身以外的所有因数之和.如果d(a)=b,d(b)=a,且a,b不等，称(a,b)为一个相亲数对，a,b都称为相亲数.如220和284为一个相亲数对.

求10000以内的所有相亲数之和.

答案：31626

（22）名字的分值

附件names.txt存有超过5000个英文名字。请先把它们按字典序排列，然后计算每个名字的分值。每个名字的分值定义为它在排列后的文件中的次序数乘以它各个字母在字母表中的位置次序数之和.例如，COLIN是排序后第938个名字，3+15+12+9+14=53，所以COLIN的分值为938*53=49714.

求文件中所有名字的分值之和。

答案：871198282

（23）非丰富之和

   对正整数n，定义d(n)为n除n本身以外的所有因数之和.若d(n)=n，称n为完全数；d(n)<n，称n为不足数；d(n)>n，称n为丰富数.最小的丰富数为12，d(12)=1+2+3+4+6=16.最小的可表示为两个丰富数之和的正整数为24=12+12.

    数学上可以证明，超过28123的数都可以表示为两丰富数之和.

求所有不可表示为两丰富数之和的正整数之和.

答案：4179871

（24）字典序排列

把一些对象按一定顺序排序，可得到一个排列.如3124是一个数字1、2、3、4的排序.把所有的排列按照数字顺序排序，称之为字典序.如0、1、2的所有排列按字典序排列，得到：012,021,102,120,201,210.

问：把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的所有排列按字典序排列，第一百万个排列是多少？

答案：2783915460

（25）1000位斐波那契数

斐波那契数列的定义是：

F_n = F_n−1 + F_n−2, where F₁ = 1 and F₂ = 1.

前12项依次为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.第12项是第一个三位数的项.

问第一个1000位的项是第几项？

答案：4782

（26）倒数的循环节

单位分数是指分子为1的分数.分母为2-10的单位分数的小数表示如下：

0.1（6）表示0.1666...，它的循环节长度为1.我们看到，1/7有长为6的循环节.

在小于1000的数中，求出使1/d的小数表示拥有最长循环节的d值.

答案：983

（27）二次质数表达式

欧拉发现了二次式n^2+n+41，当n取0-39这40个连续整数时，都得到质数。当n取40和41时，表达式的值不再是质数。对另一个二次式n^2-79n+1601，当n取0-79这80个连续整数时，得到80个质数。两个系数-79和1601的乘积是-126479.

考虑n^2+an+b形式的二次式，其中|a|和|b|均不超过1000.找出系数a和b的乘积，使得n从0连续取值时，该二次式可以产生最多个质数.

答案：-59231

（28）螺旋数阵对角线和

 21 22 23 24 2520  7  8  9 1019  6  1  2 1118  5  4  3 1217 16 15 14 13

以上是一个从1开始，把正整数依次按顺时针方向螺旋排列的5*5数阵，其对角线上的数之和为101.按相同方式生成的1001*1001数阵，其对角线上的数之和为多少？

答案：669171001

（29）不同的方幂

对于形式a^b，考虑2≤a≤5且2≤b≤5的所有整数组合，我们得到：

2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=323²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=2434²=16, 4³=64, 4⁴=256, 4⁵=10245²=25, 5³=125, 5⁴=625, 5⁵=3125

    把它们从小到大排列，并去除重复的数，得到15个不同方幂值组成的序列：

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

当2≤a≤100且2≤b≤100时，有多少个不同的方幂值？

答案：9183

（30）数码的五次方和

只有3个数（除去1）可以表为它们各数码的四次方之和：

1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴8208 = 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴9474 = 9⁴ + 4⁴ + 7⁴ + 4⁴

这三个数的和为19316.找出可表为各数码五次方和的所有数之和.

答案：443839