一，基本概念

矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。

二，基本的原理

一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。

但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：

把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A  =>  (A*A)*(A*A)*(A*A)

这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。

其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。

以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。

有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。

比如A^19  =>  （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：

现在要求A^156,而156(10)=10011100(2) 

四，例题

PRoblem of Precision

3125 Sample Output
997841 SourceHDOJ 2008 Summer Exercise（4）- Buffet Dinner Recommendlcy 代码；
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;const int MOD = 1024;int n;struct mat{    int s[2][2];    mat(int a = 0, int b = 0, int c = 0, int d = 0)    {        s[0][0] = a;        s[0][1] = b;        s[1][0] = c;        s[1][1] = d;    }    mat Operator * (const mat& c)    {        mat ans;        sizeof(ans.s, 0, sizeof(ans.s));        for (int i = 0; i < 2; i++)            for (int j = 0; j < 2; j++)                for (int k = 0; k < 2; k++)                    ans.s[i][j] = (ans.s[i][j] + s[i][k] * c.s[k][j]) % MOD;        return ans;    }} tmp(5, 12, 2, 5);mat pow_mod(int k){    if (k == 1)        return tmp;    mat a = pow_mod(k / 2);    mat ans = a * a;    if (k % 2)        ans = ans * tmp;    return ans;}int main(){    int cas;    scanf("%d", &cas);    while (cas--)    {        scanf("%d", &n);        mat ans = pow_mod(n);        printf("%d/n", (ans.s[0][0] * 2 - 1) % MOD);    }    return 0;}