昨天复习了一下单源最短路径问题，今天总结一下。

解决单源最短路径问题，我们熟知的算法首先就是Dijkstra算法了。Dijkstra算法的核心就是贪心思想。我在以前的博客中也写过这个算法：图的拓扑排序、关键路径、最短路径算法 – C++实现，现在看以前的博客，我的代码思路还是很清晰的。Dijkstra算法可以求出某一点到其他所有点的最短路径，本文还将介绍一种可求出所有点对的最短路径的算法——Floyd算法。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，知道扩展到终点为之。Dijkstra算法的要求是图中不存在负权边。因为Dijkstra算法基于贪心策略，它是短视的。如果存在某个路径上有负权边，可能绕了几圈得到的结果甚至是更优的，所以Dijkstra算法在有负权边的图应用上是失败的。

Dijkstra算法的具体解释我就不说了，如果不明白概念可参考这篇博客的概念解释：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法。

本文所有测试用例所用graph就是下面这幅图片中的graph：

下面给出我的代码：

输出结果：

Dijkstra算法的时间复杂度是O(|E|+|V|2|)=O(V2)$O(|E|+|V|^2|) = O(V^2)$（参考：Dijkstra算法时间复杂度）。对于稠密的图来说，|E| 就是|V|^2，所以Dijsstra算法中遍历dist[min_index]+weigth那个循环加上最外层循环时间复杂度为θ(|V|2)$θ(|V|^2)$，对于稠密图，这就是最优的了，总的时间复杂度正好是θ(|E|+|V|2)=θ(|V|2+|V|2)=O(|V|2)$θ(|E|+|V|^2) = θ(|V|^2+|V|^2) = O(|V|^2)$。但是对于非稠密图，这个 |E| 实际没这么大，甚至 |E|=|V|$|E| = |V|$，这个算法就未免效率低下了。

优化法方法是使用最小堆，我们dist[min_Index]+weight小于dist[k]时，将新的dist[k]的值插入最小堆；在上面查找最小值的操作中，每次从最小堆中取出最小值，并且检查是否visited，如果没visited，那就找到新的顶点了。改进后的算法时间复杂度是O(|E|lg|V|)$O(|E|lg|V|)$。

Floyd算法

Floyd算法是解决任意两点间最短路径的一种算法，可以正确处理负权图的最短路径问题。

上面的Dijkstra算法求出了某个点到其他所有点的最短路径，我们要求所有点对的最短路径，有这样一种思路，就是再外面再循环 |V| 次，那么不就求出所由点对的最短路径了吗？时间复杂度为O(N3)$O(N^3)$。

不过，Dijkstra算法为我们提供了一种动态规划的思想，一个点到另外一个点的最短路径，要么直接到达就是最短的，要么就是经过了一个已经最优化的点间接到达这个点就是最短的，只有这么两种情况。Floyd算法就根据这个思路把所有情况同过DP表的方式计算出来，时间复杂度是一样的，也是O(N3)$O(N^3)$，不过Floyd算法简洁的多。

Floyd算法DP公式：

D0[V][W]=min{D−1[V][W],D−1[V][K]+D−1[K][W]} $$D^0[V][W]=min/{ D^-1[V][W], D^-1[V][K]+D^-1[K][W]/}$$

D是一个二维矩阵，是一个辅助矩阵，初始状态和graph是一致的，通过该矩阵的变化，我们来修正path矩阵的值即可。

更多的关于Floyd算法的解释参见： 数据结构之最短路径（Floyd） ，包括我下面用的打印函数，可以参见它的解释。不过它的打印函数对于非强连通图有一点问题，我加以修正了。

打印函数实际上意思就是，比如我要找(0, 8)的最短路径，如果path[0][8]的值为k，说明0->8之间经过路径k，且0->k的结果是最优的，所以目前找到了所求路径的一部分{0, k1}。然后我们再次查找(k, 8)的最短路径，看它们两之间有没有中间更优化的路径，比如找到，如果有，那就找到了路径{0, k1, k2}，依次下去，知道path[k][8]的结果为8，说明没有了。总的路径就是{0, k1, k2 … 8}。

下面给出我的代码：

输出结果：