BZOJ 1111: [POI2007]四进制的天平Wag 进制拆分，DP求方案数

2019-11-10 17:31:05

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供稿：网友

Description

Mary准备举办一个聚会，她准备邀请很多的人参加她的聚会。并且她准备给每位来宾准备一些金子作为礼物。为了不伤及每个人的脸面，每个人获得的金子必须相同。Mary将要用一个天平来称量出金子。她有很多的砝码，所有砝码的质量都是4的幂。Mary将金子置于左边并且将砝码置于右盘或者两个盘。她希望每次称量都使用最少的砝码。并且，他希望，每次都用不同的称量方法称出相同质量的金子。对于给定的质量n，Mary希望知道最少需要用多少个砝码可以完成称量，并且想知道用这么多个砝码一共有多少种方式进行称量。 Input

输入文件仅包含一个整数，表示Mary希望给每个人的金子的质量。（1<=n<=10^1000） Output

输出文件仅包含一个整数，表示一共可能的称量方式对10^9的模。 Sample Input 166

Sample Output 3

样例解释

一共有三种方式称量出166。166=64+64+16+16+4+1+1。166=256-64-16-16+4+1+1。166=256-64-16-4-4-1-1。

解题方法：我们首先考虑把 n 转换成一个四进制数。我们记转换完的数有 m 位，第 i 位（从低到高）的值为 num[i]。我们发现对于第 i 位要想满足条件只有两种放置方法，第一种是在天平的右盘放 num[i]个 4 i 的砝码，第二种是在天平的右盘放 1 个 4 i＋ 1 的砝码，在天平的左盘放 4－num[i]个 4 i的砝码。因此我们可以考虑用 DP 解决，定义状态 dp[i][j]表示第 i 到 m 位已经处理完，dp[i][0]表示第 i 位不多放一个在右盘，dp[i][1]表示在第 i 位多放一个在右盘，最少需要放置的砝码个数。则有： dp[i][0]＝min(dp[i＋1][0]＋num[i],dp[i＋1][1]＋4－num[i]); $dp[i][0]＝min(dp[i＋1][0]＋num[i],dp[i＋1][1]＋4－num[i]);$ dp[i][1]＝min(dp[i＋1][1]＋num[i]＋1,dp[i＋1][1]＋3－num[i]); $dp[i][1]＝min(dp[i＋1][1]＋num[i]＋1,dp[i＋1][1]＋3－num[i]);$ 对于方案数，只要在动态规划的过程中顺便处理一下就可以了。然后代码参考了Po爷，蒟蒻高精度巨TM炸。。。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn = 2010;const int mod = 1e9;struct bign{ int a[2010]; int len; bign() { memset(a, 0, sizeof(a)); len = 0; } inline void input() { char b[2010]; scanf("%s", b + 1); len = strlen(b + 1); for(int i = 1; i <= len; i ++) { a[i] = b[len - i + 1] - '0'; } } inline bign get_bign(int rhs) { bign ret; while(rhs) { ret.a[++ ret.len] = rhs % 10; rhs /= 10; } return ret; } inline bool Operator < (const bign& rhs) const { if(len < rhs.len) return 1; if(len > rhs.len) return 0; for(int i = len; i >= 1; i --) { if(a[i] < rhs.a[i]) return 1; if(a[i] > rhs.a[i]) return 0; } return 0; } inline bool operator > (const bign& rhs) const { return rhs < *this; } inline bool operator == (const bign& rhs) const { return !((rhs < *this) | (*this < rhs)); } inline bool operator <= (const bign& rhs) const { return *this == rhs || *this < rhs; } inline bool operator >= (const bign& rhs) const { return *this == rhs || *this > rhs; } inline bool operator != (const bign& rhs) const { return !(*this == rhs); } inline bign operator * (bign& rhs) const { bign ret; for(int i = 1; i <= len; i ++) { for(int j = 1; j <= rhs.len; j ++) { ret.a[i + j - 1] += a[i] * rhs.a[j]; ret.a[i + j] += ret.a[i + j - 1] / 10; ret.a[i + j - 1] %= 10; } } ret.len = len + rhs.len - 1; if(ret.a[ret.len + 1]) ret.len ++; return ret; } inline bign operator * (int& rhs) { bign yt = get_bign(rhs); return *this * yt; } inline bign operator + (bign& rhs) const { bign ret; ret.len = max(len, rhs.len); for(int i = 1; i <= ret.len; i ++) { ret.a[i] += a[i] + rhs.a[i]; ret.a[i + 1] += ret.a[i] / 10; ret.a[i] %= 10; } if(ret.a[ret.len + 1]) ret.len ++; return ret; } inline bign operator + (int& rhs) { bign yt = get_bign(rhs); return *this + yt; } inline bign operator - (const bign& rhs) const { bign ret; for(int i = 1; i <= len; i ++) { ret.a[i] += a[i] - rhs.a[i]; if(ret.a[i] < 0) ret.a[i] += 10, ret.a[i + 1] --; if(ret.a[i]) ret.len = i; } return ret; } inline bign operator - (int& rhs) { bign yt = get_bign(rhs); return *this - yt; } inline bign operator / (const int& rhs) const { bign ret; int x = 0; for(int i = len; i >= 1; i --) { x = x * 10 + a[i]; ret.a[i] = x / rhs; x %= rhs; } ret.len = len; while(!ret.a[ret.len] && ret.len) ret.len --; return ret; } inline int operator % (const int& rhs) const { int x = 0; for(int i = len; i >= 1; i --) { x = x * 10 + a[i]; x %= rhs; } return x; } inline bign operator ^ (int rhs) { bign ret; ret = get_bign(1); bign nbc = *this; while(rhs) { if(rhs & 1) ret = ret * nbc; nbc = nbc * nbc; rhs >>= 1; } return ret; } inline void operator = (int x) { *this = get_bign(x); return; } inline void PRint() { for(int i = len; i >= 1; i --) printf("%d", a[i]); }};int stk[maxn], top;pair <int, int> f[maxn], g[maxn];//f[i]表示从第i位往前的最小花销及方案数//g[i]表示从第i位往前+1的最小花销及方案数//f[i]就是dp[i][0], g[i]就是dp[i][1]void add(pair <int, int> &x, pair <int, int> y, int z){ if(y.first + z < x.first) { x.first = y.first + z, x.second = 0; } if(y.first + z == x.first) { (x.second += y.second) %= mod; }}int main(){ bign n; n.input(); while(n.len) { stk[++top] = n % 4; n = n / 4; } memset(f, 0x3f, sizeof(f)); memset(g, 0x3f, sizeof(g)); f[top + 1] = {0, 1}; g[top + 1] = {1, 1}; for(int i = top; i >= 1; i--) { if(stk[i] == 0){ add(f[i], f[i+1], 0); add(g[i], f[i+1], 1); } else if(stk[i] == 1){ add(f[i], f[i+1], 1); add(g[i], f[i+1], 2); add(g[i], g[i+1], 2); } else if(stk[i] == 2){ add(f[i], f[i+1], 2); add(f[i], g[i+1], 2); add(g[i], g[i+1], 1); } else{ add(f[i], g[i+1], 1); add(g[i], g[i+1], 0); } } cout << f[1].second << endl; return 0;}

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