01背包

N件物品和一个容量为V的背包，放入第i件物品所占的空间为Ci，得到的价值是Wi，求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 特点：每件物品只有一件，可选择放或不放。

状态转移方程

F[i,v]=max{F[i-1,v],F[i-1,v-Ci]+Wi} F[i,v]表示将前i件物品恰放入一个容量为v的背包可获得的最大价值 “将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，只考虑第i件物品放或不放，就可以转化成一个只和前i-1件物品相关的问题 情况1 不放第i件物品 前i-1件物品放入容量为v的背包中，价值为F[i-1,v] 情况2 放第i件物品 前i-1件物品放入剩下的容量为v-Ci的背包中，此时能获得的最大价值为F[i-1,v-Ci]再加上通过放入第i件物品获得的价值Wi

空间复杂度

为了保证计算F[v]时F[v-Ci]保存的是状态F[i-1,v-Ci]的值，要求在每次主循环中以V→v…0的递减顺序计算F[v]

伪代码

背包问题初始化的细节问题

1 恰好装满背包 初始化 F[0]=0 其他F[1…v]均设为负无穷 2 没有要求必须把背包装满，只希望价值最大 初始化应该将F[0…v]全部设为0

完全背包问题

有N种物品和一个容量为V 的背包，每种物品都有无限件可用。放入第i种 物品的费用是Ci，价值是Wi。求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品的耗 费的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 从每件物品的角度考虑：取0件、取1件、取2件……直至取⌊V /Ci⌋件等许多种。 状态转移方程 F[i,v] = max{F[i−1,v−kCi] + kWi |0 ≤ kCi ≤ v}

优化减小其时间复杂度

若两件物品i、j满 足Ci ≤ Cj且Wi ≥ Wj，则将可以将物品j直接去掉，不用考虑。 比较不错的一种方法是：首先将费用大于V 的物品去掉，然后使 用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可 以O(V + N)地完成这个优化。 续使用一维数组伪代码 F[0…v]←0 for i← 1 to N for v←Ci to V F[v]←max{F[v],F[v-Ci]+Wi} 等价于 F[i,v]=max{F[i-1,v],F[i,v-Ci]+Wi} 在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，正需要一个可能已选入第i种物品的子结果F[i,v-Ci],必须使用v的递增的顺序循环

未完待续