1. 问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。

2. 求解算法

对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>

，求LCS与最长公共子串。

暴力解法

假设 m<n

。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

动态规划

假设Z=<z1,z2,⋯,zk>

的LCS， 我们观察到

因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。

DP求解LCS

用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xi

代码实现

public static int lcs(String str1, String str2) {    int len1 = str1.length();    int len2 = str2.length();    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];    for (int i = 0; i <= len1; i++) {        for( int j = 0; j <= len2; j++) {            if(i == 0 || j == 0) {                c[i][j] = 0;            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;            } else {                c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);            }        }    }    return c[len1][len2];}
DP求解最长公共子串
前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i,j]
用来记录具有这样特点的子串——结尾为母串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj
的结尾——的长度。
得到转移方程：
c[i,j]=⎧⎩⎨⎪⎪0c[i−1,j−1]+10i=0 or j=0xi=yjxi≠yj
最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}
。
代码实现
public static int lcs(String str1, String str2) {    int len1 = str1.length();    int len2 = str2.length();    int result = 0;     //记录最长公共子串长度    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];    for (int i = 0; i <= len1; i++) {        for( int j = 0; j <= len2; j++) {            if(i == 0 || j == 0) {                c[i][j] = 0;            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;                result = max(c[i][j], result);            } else {                c[i][j] = 0;            }        }    }    return result;}
原文链接:http://www.cnblogs.com/en-heng/p/3963803.html