数据结构----树状数组----子区间的和

一、几个问题

问题一：已知数组a[],元素个数为n,现在要求a数组中i到j区间内的和(1<=i<=j<=n)

解法1：每次查询就把i到j之间每个元素都加起来。最坏情况O(Qn)（Q为查询次数）

解法2：用前缀和数组sum[k]来记录1到k的和，查询时，就输出sum[j]-sum[i-1]。O(1)

问题二：已知数组a[],元素个数为n,现在有两种操作

1、求a数组中i到j区间内的和(1<=i<=j<=n)

2、将a数组中a[k](1<=k<=n)的值加上d。

解法1：每次查询就把i到j之间每个元素都加起来，每次更改就把a[k]加上d。最坏情况O(Qn)

解法2：用前缀和数组sum[k]来记录1到k的和，查询时，就输出sum[j]-sum[i-1]，更改时，就把k到n之间的所有元素都加上d。最坏情况O(Qn)

解法3：树状数组。O(Qlog(n))

树状数组就是在这种背景下产生的。

二、树状数组的概念

利用二进制来分类，每一个数存的数据是存的一个区间，它存的区间大小，取决于它的二进制里权值最低的1权值，

如果感觉听不懂，就来看一下例子吧。

比如说6，转化成二进制位110，权值最低的1就是红色标注的那个1，它的权值是2。

再比如说12，转化成二进制位1100，权值最低的权值就是4。

求它的最低权值有一个简便算法：

int lowbit(int x)

{

return x&-x;}

接下来就是求和的操作，我们发现1~14之间的和是a[14]+a[12]+a[8]，恰好是14对应二进制a[1110],a[1100],a[1000]

（以上的1110、1100、1000位二进制），于是可以发现求和算法：

int getsum(int x)

{

int sum=0;

while(x){

sum+=treearray[x];

x-=lowbit(x);}}

然后是修改操作，实际上就是找它的父亲，直到它的父亲大于n为止。

void update(int x,int d)

{

while(x<=n){

treearray[x]+=d;

x+=lowbit(x);}}

有了这三个函数，求解上面的问题就容易多了，但是要注意初始化：for(i=1;i<=n;i++){

scanf("%d",&x);

update(i,x);}

完整代码：

#include<cstdio>int treearray[1000002],N;int lowbit(int x){    return x&-x;}int getsum(int x){    int sum=0;    while(x){        sum+=treearray[x];        x-=lowbit(x);    }    return sum;}void update(int i,int x){    while(i<=N){        treearray[i]+=x;        i+=lowbit(i);    }}int main(){    int Q,i,a,b,x;    scanf("%d%d",&N,&Q);    for(i=1;i<=Q;i++){        scanf("%d%d%d",&x,&a,&b);        if(x==0){            update(a,b);        }        if(x==1){            PRintf("%d/n",getsum(b)-getsum(a-1));        }    }}