前言 The time of test,family is best. Name:Willam Time:2017/3/6
1、拓扑排序的介绍
对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。 拓扑排序对应施工的流程图具有特别重要的作用，它可以决定哪些子工程必须要先执行，哪些子工程要在某些工程执行后才可以执行。为了形象地反映出整个工程中各个子工程(活动)之间的先后关系，可用一个有向图来表示，图中的顶点代表活动(子工程)，图中的有向边代表活动的先后关系，即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动，只有当起点活动完成之后，其终点活动才能进行。通常，我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。 一个AOV网应该是一个有向无环图，即不应该带有回路，因为若带有回路，则回路上的所有活动都无法进行（对于数据流来说就是死循环）。在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order)，由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序(Topological sort)。AOV网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。
2、拓扑排序的实现步骤
在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧（白话就是：删除所有和它有关的边）重复上述两步，直至所有顶点输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止，后者代表我们的有向图是有环的，因此，也可以通过拓扑排序来判断一个图是否有环。3、拓扑排序示例手动实现
如果我们有如下的一个有向无环图，我们需要对这个图的顶点进行拓扑排序，过程如下： 
首先，我们发现V6和v1是没有前驱的，所以我们就随机选去一个输出，我们先输出V6，删除和V6有关的边，得到如下图结果： 
然后，我们继续寻找没有前驱的顶点，发现V1没有前驱，所以输出V1，删除和V1有关的边，得到下图的结果： 
然后，我们又发现V4和V3都是没有前驱的，那么我们就随机选取一个顶点输出（具体看你实现的算法和图存储结构），我们输出V4，得到如下图结果： 
然后，我们输出没有前驱的顶点V3，得到如下结果： 
然后，我们分别输出V5和V2，最后全部顶点输出完成，该图的一个拓扑序列为：
v6–>v1—->v4—>v3—>v5—>v2
4、拓扑排序的代码实现
下面，我们将用两种方法来实现我么的拓扑排序：
Kahn算法基于DFS的拓扑排序算法首先我们先介绍第一个算法的思路： Kahn的算法的思路其实就是我们之前那个手动展示的拓扑排序的实现，我们先使用一个栈保存入度为0 的顶点，然后输出栈顶元素并且将和栈顶元素有关的边删除，减少和栈顶元素有关的顶点的入度数量并且把入度减少到0的顶点也入栈。具体的代码如下：
bool Graph_DG::topological_sort() { cout << "图的拓扑序列为：" << endl; //栈s用于保存栈为空的顶点下标 stack<int> s; int i; ArcNode * temp; //计算每个顶点的入度，保存在indgree数组中 for (i = 0; i != this->vexnum; i++) { temp = this->arc[i].firstarc; while (temp) { ++this->indegree[temp->adjvex]; temp = temp->next; } } //把入度为0的顶点入栈 for (i = 0; i != this->vexnum; i++) { if (!indegree[i]) { s.push(i); } } //count用于计算输出的顶点个数 int count=0; while (!s.empty()) {//如果栈为空，则结束循环 i = s.top(); s.pop();//保存栈顶元素，并且栈顶元素出栈 cout << this->arc[i].data<<" ";//输出拓扑序列 temp = this->arc[i].firstarc; while (temp) { if (!(--this->indegree[temp->adjvex])) {//如果入度减少到为0，则入栈 s.push(temp->adjvex); } temp = temp->next; } ++count; } if (count == this->vexnum) { cout << endl; return true; } cout << "此图有环，无拓扑序列" << endl; return false;//说明这个图有环}现在，我们来介绍第二个算法的思路： 其实DFS就是深度优先搜索，它每次都沿着一条路径一直往下搜索，知道某个顶点没有了出度时，就停止递归，往回走，所以我们就用DFS的这个思路，我们可以得到一个有向无环图的拓扑序列，其实DFS很像Kahn算法的逆过程。具体的代码实现如下：
bool Graph_DG::topological_sort_by_dfs() { stack<string> result; int i; bool * visit = new bool[this->vexnum]; //初始化我们的visit数组 memset(visit, 0, this->vexnum); cout << "基于DFS的拓扑排序为：" << endl; //开始执行DFS算法 for (i = 0; i < this->vexnum; i++) { if (!visit[i]) { dfs(i, visit, result); } } //输出拓扑序列，因为我们每次都是找到了出度为0的顶点加入栈中， //所以输出时其实就要逆序输出，这样就是每次都是输出入度为0的顶点 for (i = 0; i < this->vexnum; i++) { cout << result.top() << " "; result.pop(); } cout << endl; return true;}void Graph_DG::dfs(int n, bool * & visit, stack<string> & result) { visit[n] = true; ArcNode * temp = this->arc[n].firstarc; while (temp) { if (!visit[temp->adjvex]) { dfs(temp->adjvex, visit,result); } temp = temp->next; } //由于加入顶点到集合中的时机是在dfs方法即将退出之时， //而dfs方法本身是个递归方法， //仅仅要当前顶点还存在边指向其他不论什么顶点， //它就会递归调用dfs方法，而不会退出。 //因此，退出dfs方法，意味着当前顶点没有指向其他顶点的边了 //，即当前顶点是一条路径上的最后一个顶点。 //换句话说其实就是此时该顶点出度为0了 result.push(this->arc[n].data);}两种算法总结： 对于基于DFS的算法，增加结果集的条件是：顶点的出度为0。这个条件和Kahn算法中入度为0的顶点集合似乎有着异曲同工之妙，Kahn算法不须要检测图是否为DAG，假设图为DAG，那么在入度为0的栈为空之后，图中还存在没有被移除的边，这就说明了图中存在环路。而基于DFS的算法须要首先确定图为DAG，当然也可以做出适当调整，让环路的检测測和拓扑排序同一时候进行，毕竟环路检測也可以在DFS的基础上进行。 二者的复杂度均为O(V+E)。
5、完整的代码和输出展示
topological_sort.h文件的代码/************************************************************//* 程序作者：Willam *//* 程序完成时间：2017/3/6 *//* 有任何问题请联系：2930526477@QQ.com *//************************************************************///@尽量写出完美的程序#PRagma once//#pragma once是一个比较常用的C/C++杂注，//只要在头文件的最开始加入这条杂注，//就能够保证头文件只被编译一次。/*拓扑排序必须是对有向图的操作算法实现：（1）Kahn算法（2）DFS算法采用邻接表存储图*/#include<iostream>#include<string>#include<stack>using namespace std;//表结点struct ArcNode { ArcNode * next; //下一个关联的边 int adjvex; //保存弧尾顶点在顶点表中的下标};struct Vnode { string data; //顶点名称 ArcNode * firstarc; //第一个依附在该顶点边};class Graph_DG {private: int vexnum; //图的顶点数 int edge; //图的边数 int * indegree; //每条边的入度情况 Vnode * arc; //邻接表public: Graph_DG(int, int); ~Graph_DG(); //检查输入边的顶点是否合法 bool check_edge_value(int,int); //创建一个图 void createGraph(); //打印邻接表 void print(); //进行拓扑排序,Kahn算法 bool topological_sort(); //进行拓扑排序，DFS算法 bool topological_sort_by_dfs(); void dfs(int n,bool * & visit, stack<string> & result);};topological_sort.cpp文件代码#include"topological_sort.h"Graph_DG::Graph_DG(int vexnum, int edge) { this->vexnum = vexnum; this->edge = edge; this->arc = new Vnode[this->vexnum]; this->indegree = new int[this->vexnum]; for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) { this->indegree[i] = 0; this->arc[i].firstarc = NULL; this->arc[i].data = "v" + to_string(i + 1); }}//释放内存空间Graph_DG::~Graph_DG() { ArcNode * p, *q; for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) { if (this->arc[i].firstarc) { p = this->arc[i].firstarc; while (p) { q = p->next; delete p; p = q; } } } delete [] this->arc; delete [] this->indegree;}//判断我们每次输入的的边的信息是否合法//顶点从1开始编号bool Graph_DG::check_edge_value(int start, int end) { if (start<1 || end<1 || start>vexnum || end>vexnum) { return false; } return true;}void Graph_DG::createGraph() { int count = 0; int start, end; cout << "输入每条起点和终点的顶点编号（从1开始编号）" << endl; while (count != this->edge) { cin >> start; cin >> end; //检查边是否合法 while (!this->check_edge_value(start, end)) { cout << "输入的顶点不合法，请重新输入" << endl; cin >> start; cin >> end; } //声明一个新的表结点 ArcNode * temp = new ArcNode; temp->adjvex = end - 1; temp->next = NULL; //如果当前顶点的还没有边依附时， if (this->arc[start - 1].firstarc == NULL) { this->arc[start - 1].firstarc = temp; } else { ArcNode * now = this->arc[start - 1].firstarc; while(now->next) { now = now->next; }//找到该链表的最后一个结点 now->next = temp; } ++count; }}void Graph_DG::print() { int count = 0; cout << "图的邻接矩阵为：" << endl; //遍历链表，输出链表的内容 while (count != this->vexnum) { //输出链表的结点 cout << this->arc[count].data<<" "; ArcNode * temp = this->arc[count].firstarc; while (temp) { cout<<"<"<< this->arc[count].data<<","<< this->arc[temp->adjvex].data<<"> "; temp = temp->next; } cout << "^" << endl; ++count; }}bool Graph_DG::topological_sort() { cout << "图的拓扑序列为：" << endl; //栈s用于保存栈为空的顶点下标 stack<int> s; int i; ArcNode * temp; //计算每个顶点的入度，保存在indgree数组中 for (i = 0; i != this->vexnum; i++) { temp = this->arc[i].firstarc; while (temp) { ++this->indegree[temp->adjvex]; temp = temp->next; } } //把入度为0的顶点入栈 for (i = 0; i != this->vexnum; i++) { if (!indegree[i]) { s.push(i); } } //count用于计算输出的顶点个数 int count=0; while (!s.empty()) {//如果栈为空，则结束循环 i = s.top(); s.pop();//保存栈顶元素，并且栈顶元素出栈 cout << this->arc[i].data<<" ";//输出拓扑序列 temp = this->arc[i].firstarc; while (temp) { if (!(--this->indegree[temp->adjvex])) {//如果入度减少到为0，则入栈 s.push(temp->adjvex); } temp = temp->next; } ++count; } if (count == this->vexnum) { cout << endl; return true; } cout << "此图有环，无拓扑序列" << endl; return false;//说明这个图有环}bool Graph_DG::topological_sort_by_dfs() { stack<string> result; int i; bool * visit = new bool[this->vexnum]; //初始化我们的visit数组 memset(visit, 0, this->vexnum); cout << "基于DFS的拓扑排序为：" << endl; //开始执行DFS算法 for (i = 0; i < this->vexnum; i++) { if (!visit[i]) { dfs(i, visit, result); } } //输出拓扑序列，因为我们每次都是找到了出度为0的顶点加入栈中， //所以输出时其实就要逆序输出，这样就是每次都是输出入度为0的顶点 for (i = 0; i < this->vexnum; i++) { cout << result.top() << " "; result.pop(); } cout << endl; return true;}void Graph_DG::dfs(int n, bool * & visit, stack<string> & result) { visit[n] = true; ArcNode * temp = this->arc[n].firstarc; while (temp) { if (!visit[temp->adjvex]) { dfs(temp->adjvex, visit,result); } temp = temp->next; } //由于加入顶点到集合中的时机是在dfs方法即将退出之时， //而dfs方法本身是个递归方法， //仅仅要当前顶点还存在边指向其他不论什么顶点， //它就会递归调用dfs方法，而不会退出。 //因此，退出dfs方法，意味着当前顶点没有指向其他顶点的边了 //，即当前顶点是一条路径上的最后一个顶点。 //换句话说其实就是此时该顶点出度为0了 result.push(this->arc[n].data);}main.cpp文件：#include"topological_sort.h"//检验输入边数和顶点数的值是否有效，可以自己推算为啥：//顶点数和边数的关系是：((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edgebool check(int Vexnum, int edge) { if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge) return false; return true;}int main() { int vexnum; int edge; cout << "输入图的顶点个数和边的条数：" << endl; cin >> vexnum >> edge; while (!check(vexnum, edge)) { cout << "输入的数值不合法，请重新输入" << endl; cin >> vexnum >> edge; } Graph_DG graph(vexnum, edge); graph.createGraph(); graph.print(); graph.topological_sort(); graph.topological_sort_by_dfs(); system("pause"); return 0;}输入：6 81 21 31 43 23 54 56 46 5输出： 
输入：
13 151 21 61 73 13 44 66 57 47 108 79 810 1110 1210 1312 13输出： 
