回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
这边先以4皇后来解释解决步骤：
详细说明
在第一行有四种可能，选择第一个位置放上皇后
第二行原本可以有四种可能摆放，但是第一第二个已经和第一行的皇后冲突了，因此只剩下第三第四个格子了，先选择第三个格子
接下来是第三行，根据规则可以看出，第三行已经没有位置放了，因为都跟第一第二行的皇后冲突，此时返回到第二行第四个
继续来到第三行，发现只有第二个满足条件
然后发现第四行已经不能放了，只能继续返回，返回到第一行，开始下一种可能
按照 1-5 的步骤，可以找到下面的其中一种解法
总而言之，回溯法就是开始一路到底，碰到南墙了就返回走另外一条路，有点像穷举法那样走遍所有的路。
PHP代码实现：
<?php class Backtracking { protected $chessboard; // 棋盘 二维数组 表示坐标轴 protected $N; // N表示几皇后 protected $has_set_x; // 已经设置的x坐标数组 已经设置的x坐标就不能重复了，用于检查坐标是否可用 protected $has_set_y; // 已经设置的y坐标数组 已经设置的y坐标就不能重复了，用于检查坐标是否可用 protected $has_set_site; // 已经设置的点 function __construct($N) { // 初始化数据 $this->N = $N; $this->chessboard = array(); for ($i=0; $i < $N; $i++) { for ($j=0; $j < $N; $j++) { $this->chessboard[$i][$j] = 0; } } $this->has_set_x = array(); $this->has_set_y = array(); $this->has_set_site = array(); } // 获取排列 public function getPermutation($is_get_on = true) { // is_get_on 是否获取一种排列 true:是 false:获取所有排列 $current_n = 0; // 当前设置第几个皇后 $start_x = 0; // 当前的x坐标 从x开始放置尝试 $permutation_array = array(); // 全部皇后放置成功的排列数组 while ($current_n < $this->N && $current_n >= 0) { $site_result = $this->setQueenSite($current_n, $start_x); // 设置皇后位置 if($site_result == true && $current_n + 1 >= $this->N) { // 如果最后的皇后位置放置成功则记录信息 $permutation_array[] = array_merge($this->has_set_site, array(array('x' => $site_result['x'], 'y' => $site_result['y']))); if($is_get_on == false) { // 如果是获取所有排列，则设置当前放置失败，让程序回溯继续找到其他排列 $site_result = false; } } if($site_result == true) { $this->chessboard[$site_result['x']][$site_result['y']] = 1; $this->has_set_x[] = $site_result['x']; $this->has_set_y[] = $site_result['y']; $this->has_set_site[] = array('x' => $site_result['x'], 'y' => $site_result['y']); $current_n++; // 皇后位置放置成功，继续设置下一个皇后，重置下一个皇后的x坐标从0开始 $start_x = 0; }else { // 当前皇后找不到放置的位置，则需要回溯到上一步 $previous_site = array_pop($this->has_set_site); // 找到上一步皇后的位置 if(!empty($previous_site)) { $start_x = $previous_site['x'] + 1; // 让上一步的皇后的x坐标+1继续尝试放置 $this->deleteArrayValue($this->has_set_x, $previous_site['x']); $this->deleteArrayValue($this->has_set_y, $previous_site['y']); $this->chessboard[$previous_site['x']][$previous_site['y']] = 0; } $current_n--; // 回溯到上一步，即让一个皇后x坐标+1继续尝试放置 } } return $permutation_array; } // 设置皇后位置 public function setQueenSite($n, $start_x) { $start_y = $n; if($start_x >= $this->N) return false; $check_result = $this->checkQueenSite($start_x, $start_y); // 检查当前是否可放置 if($check_result == true) { return array('x' => $start_x, 'y' => $start_y); }else { // 不可放置，则x坐标+1，继续尝试 $start_x++; return $this->setQueenSite($n, $start_x); } } // 检查皇后位置是否正确 public function checkQueenSite($x, $y) { // 判断当前坐标的横、纵、斜线是否存在已经放置的皇后 if(in_array($x, $this->has_set_x)) return false; if(in_array($y, $this->has_set_y)) return false; $operate_array = array( array('operate_x' => '+', 'operate_y' => '+'), array('operate_x' => '-', 'operate_y' => '-'), array('operate_x' => '+', 'operate_y' => '-'), array('operate_x' => '-', 'operate_y' => '+') ); foreach ($operate_array as $key => $value) { $diagonal_x = $x; $diagonal_y = $y; while (true) { eval("/$diagonal_x=$diagonal_x {$value['operate_x']} 1;"); eval("/$diagonal_y=$diagonal_y {$value['operate_y']} 1;"); if($diagonal_x >= $this->N || $diagonal_y >= $this->N || $diagonal_x < 0 || $diagonal_y < 0) break; if($this->chessboard[$diagonal_x][$diagonal_y] == 1) return false; } } return true; } // 删除数组元素 public function deleteArrayValue(&$array, $value) { $delete_key = array_search($value, $array); array_splice($array, $delete_key, 1); } } $N = 8; // 8表示获取8皇后的排列组合$backtracking = new Backtracking($N);$permutations = $backtracking->getPermutation(false);var_dump($permutations); // 输出92种排列 以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持VeVb武林网。
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