C++ 整数拆分方法详解

一、问题背景

　 整数拆分，指把一个整数分解成若干个整数的和

　　如 3=2+1=1+1+1 共2种拆分

　　我们认为2+1与1+2为同一种拆分

二、定义

　　在整数n的拆分中，最大的拆分数为m，我们记它的方案数为 f(n,m)

　　即 n=x1+x2+······+xk-1+xk ，任意 x≤m

　　在此我们采用递归递推法

三、递推关系

　　1、n=1或m=1时　

　　　 拆分方案仅为 n=1 或 n=1+1+1+······

　　　　　f(n,m)=1

　　2、n=m时

　　　　　S1选取m时，f(n,m)=1，即n=m

　　　　　S2不选取m时，f(n,m)=f(n,m-1)=f(n,n-1)，此时讨论最大拆分数为m-1时的情况

　　　　可归纳 f(n,m)=f(n,n-1)+1

　　3、n<m时

　　　　　因为不能选取m，所以可将m看作n，进行n=m时的方案，f(n,m)=f(n,n)

　　4、n>m时

　　　　　S1选取m时，f(n,m)=f(n-m,m)，被拆分数因选取了m则变为n-m，且n-m中可能还能选取最大为m的数

　　　　　S2不选取m时，f(n,m)=f(n,m-1)，此时讨论最大拆分数为m-1时的情况

　　　　　可归纳 f(n,m)=f(n,m-1)+f(n-m,m)

总递推式为

代码如下

#include <algorithm>#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cstdio>#include <cmath>using namespace std;int f(int n,int m){if ((n!=1)&&(m!=1)){if (n>m) return f(n-m,m)+f(n,m-1);else return 1+f(n,n-1);}else return 1;}void work(){int n,m;cin>>n>>m;cout<<f(n,m);}int main(){freopen("cut.in","r",stdin);freopen("cut.out","w",stdout);work();return 0;}

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