卡特兰数是由加泰罗尼亚解凸多边形的划分得到的序列。它在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机程序设计等方面各有不同，武林技术频道小编将为大家介绍深入学习卡特兰数及其应用方法，希望对你学习这方面知识有帮助！
Catalan number，卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
catalan数公式的一般是形式为：
递推关系：
它也满足
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。
卡特兰数的应用n个元素顺序入栈，出栈顺序有多少种？此问题是一个卡特兰数问题，证明过程如下：
令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有
个，下面考虑不满足要求的数目。
考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。
反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。 显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。
从而
。证毕。
括号化问题 如，矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
出栈次序问题
1、一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
2、有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)。将多边行划分为三角形问题
1、将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
2、一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
3、在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
给顶节点组成二叉树的问题 给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？
一些笔试题
1、16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。
h(8)=16!/(8!*9!)=1430，所以总数=h(8)*8！*8！=16!/9
2、在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？
h(3)=6!/(3!*4!)=5，所以总数=h(3)*3!*3!=180
以上就是武林技术频道小编为大家带来的深入学习卡特兰数及其应用方法，如果你想了解更多的编程知识，请继续关注武林技术频道吧！
