千万不要被阶乘吓倒

2020-01-26 16:10:22

字体：大中小

来源：转载

供稿：网友

阶乘（Factorial）是个很有意思的函数，但是不少人都比较怕它，我们来看看两个与阶乘相关的问题：
1、给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有两个0。
2、求N！的二进制表示中最低位1的位置。
有些人碰到这样的题目会想：是不是要完整计算出N！的值？如果溢出怎么办？事实上，如果我们从"哪些数相乘能得到10"这个角度来考虑，问题就变得简单了。
首先考虑，如果N！= K×10^M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）…，由于10 = 2×5，所以M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M = Z。
根据上面的分析，只要计算出Z的值，就可以得到N！末尾0的个数。
【问题1的解法一】
要计算Z，最直接的方法，就是计算i（i =1, 2, …, N）的因式分解中5的指数，然后求和：

复制代码代码如下:

ret = 0; 
for(i = 1; i <= N; i++) 
{ 
 j = i; 
 while(j % 5 ==0) 
 { 
  ret++;     //统计N的阶乘中那些能够被5整除的因子的个数
  j /= 5; 
 }
}

【问题1的解法二】
公式：Z = [N/5] +[N/5^2] +[N/5^3] + …（不用担心这会是一个无穷的运算，因为总存在一个K，使得5^K > N，[N/5^K]=0。）
公式中，[N/5]表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5，[N/5^2]表示不大于N的数中5^2的倍数再贡献一个5，……代码如下：

复制代码代码如下:

ret = 0; 
while(N) 
{
 ret += N / 5; 
 N /= 5;
}

问题2要求的是N！的二进制表示中最低位1的位置。给定一个整数N，求N！二进制表示的最低位1在第几位？例如：给定N = 3，N！= 6，那么N！的二进制表示（1 010）的最低位1在第二位。
为了得到更好的解法，首先要对题目进行一下转化。
首先来看一下一个二进制数除以2的计算过程和结果是怎样的。
把一个二进制数除以2，实际过程如下：
判断最后一个二进制位是否为0，若为0，则将此二进制数右移一位，即为商值（为什么）；反之，若为1，则说明这个二进制数是奇数，无法被2整除（这又是为什么）。
所以，这个问题实际上等同于求N！含有质因数2的个数+1。即答案等于N！含有质因数2的个数加1。实际上N！都为偶数，因为质因数里面都有一个2，除了1以外，因为1的阶乘是1，是个奇数，其他数的阶乘都是偶数。。
【问题2的解法一】
由于N! 中含有质因数2的个数，等于 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …[1]，
根据上述分析，得到具体算法，如下所示：

复制代码代码如下:

/*
可以先求出N!中2的个数（因为每存在一个2，则在数的 
最低位多1个0）。因此求1的最低位的位置即为N!中2的个数+1； 
*/
int lowestOnePos(int n) 
{ 
    int ret = 0;     //统计n!中含有质因数2的个数
    while(n) 
    { 
        n >>= 1; 
        ret += n; 
    } 
    return ret+1;
}

【问题2的解法二】
N！含有质因数2的个数，还等于N减去N的二进制表示中1的数目。我们还可以通过这个规律来求解。
下面对这个规律进行举例说明，假设 N = 11011，那么N!中含有质因数2的个数为 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …

复制代码代码如下:

即： 1101 + 110 + 11 + 1 
=（1000 + 100 + 1） 
+（100 + 10） 
+（10 + 1） 
+ 1 
=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1 
= 1111 + 111 + 1 
=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1） 
= 11011-N二进制表示中1的个数 

小结
任意一个长度为m的二进制数N可以表示为N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] * 2(m-1)，其中b [ i ]表示此二进制数第i位上的数字（1或0）。所以，若最低位b[1]为1，则说明N为奇数；反之为偶数，将其除以2，即等于将整个二进制数向低位移一位。
相关题目
给定整数n，判断它是否为2的方幂（解答提示：n>0&&（（n&（n-1））==0））。
--------------------------------------------------------------------------------
[1] 这个规律请读者自己证明（提示N/k，等于1, 2, 3, …, N中能被k整除的数的个数）。

上一篇：最长公共子字符串的使用分析

下一篇：求子数组最大和的解决方法详解